Question

如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

根据直径所对的圆周角是直角即可进行判断BC是⊙O的切线；

连接OD, 利用扇形面积ODE-△OBD=阴影部分的面积，即可求出答案.

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠ABD=90°，

∵∠A=∠DEB，∠DEB=∠DBC，

∴∠A=∠DBC，

∵∠DBC+∠ABD=90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接OD，

∵BF=BC=2，且∠ADB=90°，

∴∠CBD=∠FBD，

∵OE∥BD，

∴∠FBD=∠OEB，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠CBD=∠OEB=∠OBE=∠ADB=90°=30°，

∴∠C=60°，

∴AB=BC=2，

∴⊙O的半径为，

∴阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积=．