Question

如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．

（1）求证：AE=C′E．

（2）求∠FBB'的度数．

（3）已知AB=2，求BF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）∠FBB′=15°；（3）+

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由旋转的性质得到∠B′AC=∠BAC=60°，利用等角对等边即可得证；

（2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，进而得到∠BB′F=150°，BB′=B′F，再由等边对等角，即可求出所求角度数；

（3）连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，分别利用三角函数定义求出MF与AM，根据AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．

（1）∵在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，∴AE=C′E；

（2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，∴∠AB′B=60°，AB′=AB，∴∠BB′F=150°，BB′=B′F，∴∠FBB′=15°；

（3）连接AF，过A作AM⊥BF，由（2）可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，∴∠AFB′=45°，∠AFM=30°，∠ABB′=60°．

∵∠FBB′=15°，∴∠ABF=45°．在Rt△AMF中，AM=BM=AB•cos∠ABM=2×=．在Rt△AMF中，MF===，则BF=+．