Question

已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，半⊙A的半径为1，点C是半圆上任意一点，连结OC，把OC绕点O顺时针旋转6

0°到OD的位置，连结BD．

（1）如图1，求证：AC＝BD．

（2）如图2，当OC与半圆相切于点C时，求CD的长．

（3）直接写出△AOC面积的最大值．

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）2.

【解析】

（1）根据已知条件易证△OAC≌△DOB，由全等三角形的性质即可得AC＝BD；（2）根据勾股定理求得OC的长，再证明△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得CD的长；（3）当h最大时，S△AOC最大，即当C在半圆A的中点时，h最大，此时h＝1，计算面积可得结论．

证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝60°

∴∠COA+∠AOD＝∠BOD+∠AOD

∴∠COA＝∠BOD

在△OAC和△OBD中，

∵

∴△OAC≌△DOB（SAS）

∴AC＝BD；

（2）如图2，∵OC是⊙A的切线，

∴AC⊥OC，∠OCA＝90°，

在Rt△OCA中，由勾股定理得：OC2+AC2＝OA2，

∴OC2+12＝42，

∴OC＝，

在△COD中，∵OC＝OD，∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∴CD＝OC＝；

（3）设点C到OA的距离为h，

∵S△AOC＝OA•h，

∵OA＝4，

∴当h最大时，S△AOC最大，即当C在半圆A的中点时，h最大，此时h＝1，

∴S△AOC＝OA•h＝＝2．