Question

已知二次函数y＝x²+bx﹣3（b是常数）

（1）若抛物线经过点A（﹣1，0），求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）P（m，n）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在该抛物线上时，求m的值；

（3）在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6，求b的值．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；顶点坐标为（1，﹣4）；（2）m=±；（3）当b=﹣2或b=4时，在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6．

【解析】

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据配方法把一般式化为顶点式，求出顶点坐标；

（2）根据关于原点对称的点的坐标特点求出点P′的坐标，代入解析式，计算即可；

（3）分﹣1≤﹣≤2、﹣＞2、﹣＜﹣1三种情况，根据二次函数的性质计算即可．

（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），

∴（﹣1）2﹣b﹣3=0，

解得，b=﹣2，

则抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2+4，

∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）由题意得，点P′的坐标为（﹣m，﹣n），

则m2+mx﹣3=n，m2﹣mx﹣3=﹣n，

两式相加得，2m2=6，

解得，m=±；

（3）①当﹣1≤﹣≤2，即﹣4≤b≤2时，=﹣6，

整理得，b2=12，

解得，b=2（舍去），b=﹣2；

②当﹣＞2，即b＜﹣4时，x=2时，y有最小值，

则4+2b﹣3=﹣6，

解得，b=﹣（舍去）；

③当﹣＜﹣1，即b＞2时，x=﹣1时，y有最小值，

则1﹣b﹣3=﹣6，

解得，b=4，

综上所述，当b=﹣2或b=4时，在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6．