Question

如图1，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点P是抛物线y＝﹣x²+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；

（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x²+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．

Answer

（1）（﹣1，0）；（2）四边形ODPE周长最大值为6．（3）当t＝1时，△ABP的面积等于△ABC的面积的．

【解析】

（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后令y＝0可得到关于x的方程，解方程即可求得点C的坐标；（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2），用含t的式子表示出PE、PD的长度，然后可得到四边形ODPE的周长与t的函数关系式，最后利用配方法可求得点P的横坐标，以及四边形ODPE周长的最大值即可；（3）先求得直线AB的解析式，设P点的坐标为（t，﹣t2+t+2），则点M的坐标为（t，﹣t+2），即可求得PM＝﹣t2+2t．由S△ABP＝S△PMB+S△PMA可得到△ABP的面积与t的函数关系式，然后，再根据，△ABP的面积等于△ABC的面积的列方程求解即可．

【解析】
（1）将点A和点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，

解得：b＝1，c＝2．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．

令y＝0，则0＝﹣x2+x+2，解得：x＝2或x＝﹣1．

∴点C的坐标为（﹣1，0）．

（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2），则PE＝t，PD＝﹣t2+t+2，

∴四边形ODPE的周长＝2（﹣t2+t+2+t）＝﹣2（t﹣1）2+6，

∴当P点坐标为（1，2）时，

∴四边形ODPE周长最大值为6．

（3）∵A（2，0），B（0，2），

∴AB的解析式为y＝﹣x+2．

∵P点的横坐标为t，

∴P点纵坐标为﹣t2+t+2．

又∵PN⊥x轴，

∴M点的坐标为（t，﹣t+2），

∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t．

∴S△ABP＝S△PMB+S△PMA＝PM•ON+PM•AN＝PM•OA＝﹣t2+2t．

又∵S△ABC＝AC•OB＝×3×2＝3，

∴﹣t2+2t＝3×，解得：t1＝t2＝1．

∴当t＝1时，△ABP的面积等于△ABC的面积的．