Question

如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②=；③DP²=PH•PB；④tan∠DBE=2﹣．其中正确的是（  ）

A. ①②③④    B. ①②④    C. ②③④    D. ①③④

Answer

D

【解析】

试题根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠PCD=30°，于是得到∠CPD=∠CDP=75°，证得∠EDP=∠PBD=15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到==故②错误；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，PB=CD，等量代换得到PD2=PH•PB，故③正确；过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM，等量代换得到∠DBE=∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM===2﹣，故④正确．

【解析】
∵△BPC是等边三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，

∵∠PBD=∠PBC﹣∠HBC=60°﹣45°=15°，

∴∠EBD=∠EDP，

∵∠DEP=∠DEB，

∴△BDE∽△DPE；故①正确；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH，

∴===，故②错误；

∵∠PDH=∠PCD=30°，

∵∠DPH=∠DPC，

∴△DPH∽△CDP，

∴=，

∴PD2=PH•CD，

∵PB=CD，

∴PD2=PH•PB，故③正确；

如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，

∴∠PCD=30°

∴CM=PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，

∵DE∥PM，

∴∠EDP=∠DPM，

∴∠DBE=∠DPM，

∴tan∠DBE=tan∠DPM===2﹣，故④正确；

故答案为：①③④．