(1)AM平分∠DAB,理由见详解；（2）AD=AB+CD.
【解析】
(1) 作ME⊥AD于点E, 证明Rt△AEM≌Rt△ABM就可以得出∠EAM=∠DAB,从而得出AM平分∠DAB;
(2) 延长DM、AB相交于点F, 证明△DCM≌△FBM，可得CD=BF, DM=FM，可证得AD=AB+CD.
解: (1)AM平分∠DAB.
理由: 作ME⊥AD于点E,
∠AEM=∠DEM=90°.
DM平分∠ADC,
∠EDM=∠CDM.
∠C=∠B=90°,
∠B=∠AEM. ∠DEM=∠C.
ME=MC.
M是BC的中点,
BM=CM.
BM=EM.
在Rt△AEM和Rt△ABM中，
Rt△AEM≌Rt△ABM (HL),
∠EAM=∠BAM, ∠AME=∠AMB,
AM平分∠DAB;
(2)AD=CD+AB.
解法1：由（1）得Rt△AEM≌Rt△ABM
∴AB=AE
在△CDM和△CEM中，
所以△CDM≌△CEM
∴CD=DE
∵AB=AE CD=DE
∴AE+DE=AB+CD
∴AD=AB+CD
解法2：理由: 如图2,
延长DM、AB相交于点F,M是BC的中点,
CM=BM.
AB//CD,
∠C=∠MBF, ∠CDM=∠F.
在△DCM和△FBM中,
△DCM≌△FBM(AAS),
CD=BF, DM=FM.
AM⊥DM,
AD=AF.
AF=AB+BF,
AF=AB+CD,
AD=AB+CD.
