Question

如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）求圆心O到BC的距离OD．

Answer

（1）证明见解析（2）4

【解析】

【解析】
（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC。

又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°。

∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°。

∴△ABC是等边三角形。

（2）连接OB，

∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，

∴O为△ABC的外心。

∴BO平分∠ABC。∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4。

（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于600，从而得证。

（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×=4