Question

如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．

（1）求证：AP=AB；

（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．

Answer

（1）答案见解析；（2）

【解析】

（1）欲证明AP=AB，只要证明∠APB=∠ABP即可；
（2）作OH⊥BC于H．在Rt△POC中，求出OP、PC、OH、CH即可解决问题．

（1）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABP+∠OBC=90°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOC=90°，
∴∠OCB+∠CPO=90°，
∵∠APB=∠CPO，
∴∠APB=∠ABP，
∴AP=AB．

（2）【解析】
作OH⊥BC于H．

在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，
∴OA==5，

∵AP=AB=3，
∴PO=2．
在Rt△POC中，PC==2,

∵•PC•OH=•OC•OP，
∴OH==,

∴CH==,

∵OH⊥BC，
∴CH=BH，
∴BC=2CH=,

∴PB=BC-PC=-2=.