Question

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．

（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

（2）求证：∠ACF=90°；

（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求的长．

Answer

（1）BE=FH；（2）证明见解析（3）2π

【解析】

试题（1）利用ABE≌△EHF求证BE=FH，

（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，

（3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出的长．

试题解析：（1）BE=FH．

证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，

∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠HEF=∠BAE，

在△ABE和△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS）

∴BE=FH．

（2）由（1）得BE=FH，AB=EH，

∵BC=AB，

∴BE=CH，

∴CH=FH，

∴∠HCF=45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°，

∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°．

（3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=FH．

∠CME=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．

如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP=CF=FH．

∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，

∴△CPE∽△FHE．

∴，即，

∴EF=4．

∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．

取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，

∴的弧长为：=2π．