Question

（1）已知：如图，是的内接正三角形，点为弧上一动点，求证：；

（2）如图，四边形是的内接正方形，点为弧上一动点，求证：；

（3）如图，六边形是的内接正六边形，点为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系，并给予证明．

Answer

（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）

【解析】

（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．
（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°，则PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．

证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，

∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=60°；
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE=PC，AC=BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA=BE=PB+PC．

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．

∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
∴∠APB=45°，
∴BP=BE，∴PE=PB；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴PA=AE+PE=PC+PB．
（3）PA=PC+PB，理由如下：
过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，

∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
∴MP=QM，
又∵∠APB=30°，
∴cos30°=，
∴PM=PB，
∴PQ=PB
∴PA=PQ+AQ=PB+PC.