Question

如图，正方形ABCD的边长为8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．

（1）判断四边形EFGH的形状．（直接写结论，不必证明）

（2）设BE＝x，四边形EFGH的面积为S，请真接写出S与x的数解析式，并求出S的最小值．

Answer

（1）证明见解析；（2）S＝2（x﹣4）2+32；最小值为32．

【解析】

（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；
（2）根据四边形EFGH面积为S，BE=x，则BF=8-x，由勾股定理得出S=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，

∵AE＝BF＝CG＝DH，

∴AH＝BE＝CF＝DG，

在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），

∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，

∴四边形EFGH是菱形，

∵∠BEF+∠BFE＝90°，

∴∠BEF+∠AEH＝90°，

∴∠HEF＝90°，

∴四边形EFGH是正方形；

（2）设BE＝x，四边形EFGH的面积为S，则BF＝8﹣x，

根据勾股定理得：EF2＝BE2+BF2＝x2+（8﹣x）2，

∴S＝x2+（8﹣x）2＝2（x﹣4）2+32，

∵2＞0，

∴S有最小值，

当x＝4时，S的最小值＝32，

∴四边形EFGH面积的最小值为32．