Question

如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（n，1）（n＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）经过A、A′、C′三点．

（1）求此抛物线的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；

（2）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点D（x₁，y₁）、E（x₂、y₂）（x₁＜x₂），当|x₁﹣x₂|最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标；

（3）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线CM对称，连接MQ′、PQ′，当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的时，求平行四边形APQM的面积．

Answer

（1）y＝﹣x2+（n﹣1）x+n；（2）D（﹣1，0），E（1，4）；（3）5或10．

【解析】

（1）先根据四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（n，1）（n＞0），求出点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标；把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出a、b、c的值，进而得出其抛物线的解析式；
（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k-2）x-1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出D（-1，0），E（1，4）；
（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得▱APQM面积．

【解析】
（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（n，1）（n＞0），

∴A（n，0），C（0，1），

∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成，

∴A′（0，n），C′（﹣1，0）；

将抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，

∵A（n，0），A′（0，n），C′（﹣1，0），

∴ ，

解得，

∴此抛物线的解析式为：y＝﹣x2+（n﹣1）x+n；

（2）对称轴为x＝1，得﹣＝1，解得n＝3，

则抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

由，

整理可得x2+（k﹣2）x﹣1＝0，

∴x1+x2＝﹣（k﹣2），x1x2＝﹣1．

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（k﹣2）2+4．

∴当k＝2时，（x1﹣x2）2的最小值为4，即|x1﹣x2|的最小值为2，

∴x2﹣1＝0，由x1＜x2可得x1＝﹣1，x2＝1，即y1＝4，y2＝0．

∴当|x1﹣x2|最小时，抛物线与直线的交点为D（﹣1，0），E（1，4）；

（3）①当P点在AM下方时，如答图1，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），

∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，

∴PQ′必过AM中点N（0，2），

∴可知Q′在y轴上，

易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，

故T（1，4），从而T、M重合，

∴▱APQM是矩形，

∵易得直线AM解析式为：y＝2x+2，

∵MQ⊥AM，

∴直线QQ′：y＝﹣x+，

∴4+p＝﹣×2+，

解得：p＝﹣，

∴PN＝，

∴S▱APQM＝2S△AMP＝4S△ANP＝4××PN×AO＝4×××1＝5；

②当P点在AM上方时，如答图2，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），

∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，

∴PQ′必过QM中点R（，4+），

易得直线QQ′：y＝﹣x+p+5，

联立，

解得：x＝，y＝ ，

∴H（，），

∵H为QQ′中点，

故易得Q′（，），

由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y＝（﹣）x+p，

将Q′（，）代入到y＝（﹣）x+p得：＝（﹣）×+p，

整理得：p2﹣9p+14＝0，

解得p1＝7，p2＝2（与AM中点N重合，舍去），

∴P（0，7），

∴PN＝5，

∴S▱APQM＝2S△AMP＝2××PN×|xM﹣xA|＝2××5×2＝10．

综上所述，▱APQM面积为5或10．