Question

如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点 D．

（1）求该抛物线的函数关系式及A、B两点的坐标；

（2）求点P在运动的过程中，线段PD的最大值；

（3）若点P与点Q重合，点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝x2﹣4x+3；A（3，0），B（1，0）；（2）x＝时，PD取得最大值，最大值为；（3）存在；F点坐标（2﹣，1）和（2+，1）．

【解析】

（1）由抛物线的顶点坐标，可得出抛物线的顶点式，代入点C的坐标可求出a的值，进而可得出抛物线的函数关系式，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标；
（2）由点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的函数关系式，设点P的坐标为（x，x2-4x+3）（0≤x＜3），则点D的坐标为（x，-x+3），进而可得出PD=-x2+3x，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）分AP为边及AP为对角线两种情况考虑：①以AP为边构造平行四边形，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于点F，由点A的坐标可设点F的坐标为（x，1），利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点F的坐标；②以AP为对角线进行构造平行四边形，由点A，E的纵坐标为0，可得出点F的纵坐标为-1，此时点P，F重合，进而可得出不存在这种情况，舍去．综上，此题得解．

【解析】
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），

∴抛物线的函数关系式为y＝a（x﹣2）2﹣1，

将C（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1，得：3＝a（0﹣2）2﹣1，

解得：a＝1，

∴抛物线的函数关系式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3．

当y＝0时，有x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，

解得：x1＝1，x2＝3，

又∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），

∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）．

（2）设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），

将A（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：

解得：，

∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+3．

设点P的坐标为（x，x2﹣4x+3）（0≤x＜3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），

∴PD＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+ ，

∵﹣1＜0，

∴当x＝时，PD取得最大值，最大值为．

（3）分两种情况考虑：

①以AP为边构造平行四边形，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于点F，

∵点P的坐标为（2，﹣1），

∴设点F的坐标为（x，1），

∴x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，

∴点F的坐标为（2﹣，1）和（2+，1）；

②以AP为对角线进行构造平行四边形，

∵点A，E的纵坐标为0，

∴点F的纵坐标为﹣1，此时点P，F重合，

∴不存在这种情况，舍去．

综上所述，符合条件的F点有两个，即（2﹣，1）和（2+，1）．