Question

如图所示,△ABC中,∠BAC=90⁰,AB=AC=1,点D是BC上一个动点(不与B，C重合),在AC上取点E,使∠ADE=45⁰.

(1)求证:△ABD∽△DCE.

(2)设BD=,AE=,求关于的函数关系式.

(3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长.

Answer

（1）见解析；（2）y=x2﹣x+1．（3）AE的长为2﹣或．

【解析】

试题此题有三问，（1）证明△ABD∽△DCE，已经有∠B=∠C，只需要再找一对角相等就可以了；

（2）由（1）证得△ABD∽△DCE，有相似就线段成比例，于是利用（1）的结果可证得（2）；

（3）当△ABD∽△DCE时，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分两种情况证明结论．

（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∵∠ADE=45°，

∴∠BDA+∠CDE=135°．

又∠BDA+∠BAD=135°，

∴∠BAD=∠CDE．

∴△ABD∽△DCE．

（2）【解析】
∵△ABD∽△DCE，

∴；

∵BD=x，

∴CD=BC﹣BD=﹣x．

∴，

∴CE=x﹣x2．

∴AE=AC﹣CE=1﹣（x﹣x2）=x2﹣x+1．

即y=x2﹣x+1．

（3）【解析】
∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，

∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．

又∵△ABD∽△DCE，

∴△ABD≌△DCE．

∴CD=AB=1．

∴BD=﹣1．

∵BD=CE，

∴AE=AC﹣CE=2﹣．

当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．

∵∠ADE=45°，

∴此时有∠DEA=90°．

即△ADE为等腰直角三角形．

∴AE=DE=AC=．

当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，

因此AE的长为2﹣或．