Question

如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF＝2，∠FEG＝60°，EG交AC于点H，下列结论：①△BEF∽△CHE；②AG＝1；③EH＝；④S_△BEF＝3S_△AGH；正确的是______．（填序号即可）

Answer

①②③

【解析】

①菱形的性质以及一线三等角即可证明△BEF∽△CHE，故①正确；

②由△BEF∽△CHE，可得，从而求得CH，由此可得AH，由△AGH∽△CEH，可得，从而求得AH=1，故②正确；

③过H作HM⊥BC于点M，在Rt△HMC中，HM=HC·sin60º，MC=HC·sin30º=，可得ME=EC-MC=，在Rt△MEH中，由勾股定理可得EH=，故③正确；

④由△BEF∽△CHE，△AHG∽△CHE，可得△BEF∽△AHG，即，即S△BEF＝4S△AGH，故④错误，故答案为：①②③

①∵四边形ABCD是菱形，∠B=60 º，BC=6，

∴AB=BC=AC=6，

∵∠CEH+∠FEH+∠FEB=180 º，∠B+∠FEB+∠BFE=180 º，∠B=∠FEH =60 º，

∴∠BFE=∠CEH，

∴△BEF∽△CHE，故①正确；

②∵E是BC的中点，

∴BE=CE=3，

∵△BEF∽△CHE，

∴，即，

∴CH=，

∴AH=AC-CH=6-=，

∵AD∥BC，

∴△AGH∽△CEH，

∴，即，

∴AH=1，故②正确；

③过H作HM⊥BC于点M，

在Rt△HMC中，∠C=60º，HC=，

∴HM=HC·sin60º=，

MC=HC·sin30º=，

∴ME=EC-MC=3-=，

在Rt△MEH中，HE==，故③正确；

④∵△BEF∽△CHE，△AHG∽△CHE，

∴△BEF∽△AHG，

∴，

即S△BEF＝4S△AGH，故④错误，

故答案为：①②③