Question

如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．

（1）填空：n的值为____，k的值为______；

（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；

（3）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）3；12；（2）点D的坐标为（4+，3）；（3）x≤﹣4或x＞0．

【解析】

（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x-3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数y=，得到k的值为12；

（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标；

（3）根据反比例函数的性质即可得到当y≥-3时，自变量x的取值范围．

【解析】
（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝x﹣3，

可得n＝×4﹣3＝3；

把点A（4，3）代入反比例函数y＝，

可得3＝，

解得k＝12．

故答案为：3，12．

（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴相交于点B，

∴x﹣3＝0，

解得x＝2，

∴点B的坐标为（2，0），

如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，

过点D作DF⊥x轴，垂足为F，

∵A（4，3），B（2，0），

∴OE＝4，AE＝3，OB＝2，

∴BE＝OE﹣OB＝4﹣2＝2，

在Rt△ABE中，

AB＝，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD＝BC＝，AB∥CD，

∴∠ABE＝∠DCF，

∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，

∴∠AEB＝∠DFC＝90°，

在△ABE与△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（ASA），

∴CF＝BE＝2，DF＝AE＝3，

∴OF＝OB+BC+CF＝2++2＝4+，

∴点D的坐标为（4+，3）．

（3）当y＝﹣3时，﹣3＝，

解得x＝﹣4．

故当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x＞0．