Question

阅读下列材料，并按要求解答．

（模型介绍）

如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图．

（性质探究）

性质1：如图①，若EC＝FC，△ACE≌△BFC

性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1．

（模型应用）

应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2，AB＝5．求BD．

应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF．交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点．

（1）请你完成性质1的证明过程；

（2）请分别解答应用1，应用2提出的问题．

Answer

(1)证明见解析；(2)应用1： BD＝4；应用2：证明见解析.

【解析】

（1）根据AAS即可证明；

（2）①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H．首先证明符合“k模型”，利用性质2根据相似三角形的性质即可解决问题；

②应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N．由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，推出FM=AH，AH=EN，推出FM=EN，再证明△FKN≌△EKN即可解决问题.

(1)如图①中，

∵∠A＝∠ECF＝∠B＝90°，

∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠F＝90°，

∴∠ACE＝∠F，∵EC＝CF，

∴△ACE≌△BFC．

(2)①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H．

在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，

∴AC＝＝，

∵AC2+BC2＝5+20＝25，AB2＝52＝25，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠ACB＝∠CHB＝90°，

∴符合“K”型图，

∴△ACD∽△CBH，

∴，

∴，

∵CH＝2，BH＝4，

∴DH＝4，

在Rt△BDH中，BD＝＝4．

应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N，

由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，

∴FM＝AH，AH＝EN，

∴FM＝EN，

∵∠FKM＝∠EKN，∠M＝∠ENK＝90°，

∴△FKN≌△EKN，

∴FK＝KE，

∴K为EF中点．