Question

如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过点D.

⑴求证： BC是⊙O切线；

⑵若BD=5, DC=3, 求AC的长.

Answer

(1)证明见解析；（2）6.

【解析】

试题（1）连接OD，根据OA=OD得出∠OAD=∠ODA，根据角平分线可得∠OAD=∠DAC，从而可以得出：∠ODA=∠DAC，说明OD∥AC，得到所求的结论；（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=DC=3，AC=AE，根据勾股定理得到BE=4，然后设AC=x，则AB=x+4，BC=8，根据直角△ABC的勾股定理求出AC的长度．

试题解析：（1）证明:连接OD． ∵ OA=OD AD平分∠BAC ∴ ∠ODA=∠OAD ∠OAD=∠CAD

∴∠ODA=∠CAD ∴ OD//AC ∴ ∠ODB=∠C=90° ∴ BC是⊙O的切线．

（2）过D点作AB的垂线段DE ∴DE=DC=3，BD=5， 则BE=4，

又∵AE=AC，在直角△ABC中运用勾股定理，设AC=x，则解得：x=6，∴ AC=6