Question

应用探究题 在图①中，已知长方形的长和宽分别为a，b，将线段A₁A₂向右平移1个单位长度到B₁B₂的位置，得到封闭图形A₁A₂B₂B₁(即阴影部分)．

在图②中，将折线A₁A₂A₃向右平移1个单位长度到折线B₁B₂B₃的位置，得到封闭图形A₁A₂A₃B₃B₂B₁(即阴影部分)．

(1)在图③中，请你画一条类似的有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；

(2)请你分别写出前三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S₁，S₂，S₃；

(3)联想与探索：

如图④，在一块长方形草地上，草地的长和宽仍分别为a，b，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的．

Answer

(1)答案不唯一，如图①见解析；(2)b(a－1) b(a－1) b(a－1)；(3)猜想草地的面积仍然是b(a－1)．理由见解析.

【解析】

（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一个封闭图形即可；
（2）结合图形，根据平移的性质可知，①②③中阴影部分的面积都可看作是以（a-1）为长，b为宽的长方形的面积；
（3）将矩形中空白部分相对平移，正好组成一个新的矩形，这些矩形的宽（竖直方向的边长均为b）不变，长都是减少了1个单位（水平方向的边长均为a-1），所以空白部分的面积是b（a-1）。

(1)答案不唯一，如图①.

图①

(2)b(a－1) b(a－1) b(a－1)

(3)猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是b(a－1)．

方案：(Ⅰ)将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；

(Ⅱ)将左侧的草地向右平移1个单位长度；

(Ⅲ)得到一个新长方形，如图②.

图②

理由：在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是b，而水平方向的长变成了a－1，所以草地的面积是b(a－1)．