Question

探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连结DE．

(1)当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；

(2)当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；

(3)深入探究：如图②，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其它条件不变，试继续探究∠BAD与∠CDE的数量关系．

Answer

(1)∠EDC=30°；(2)∠EDC=∠BAD，证明见解析；(3)∠EDC=∠BAD，证明见解析.

【解析】

（1）先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°=105°，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论；

（2）（3）利用（1）的思路与方法解答即可．

(1)∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°，

∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠AED=∠C+∠EDC，

∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，

∴∠ADC﹣∠EDC=105°﹣∠EDC=45°+∠EDC，

解得：∠EDC=30°．

(2)∠EDC=∠BAD．

证明：设∠BAD=x，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x，

∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠AED=∠C+∠EDC，

∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，

∴∠ADC﹣∠EDC=∠45°+x﹣∠EDC=45°+∠EDC，

解得：∠EDC=∠BAD．

(3)∠EDC=∠BAD．

证明：设∠BAD=x，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+x，

∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠AED=∠C+∠EDC，

∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，

∴∠ADC﹣∠EDC=∠B+x﹣∠EDC=∠B+∠EDC，

解得：∠EDC=∠BAD．