Question

如图，在△ABC中，∠C=90°．

（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．

Answer

（1）图形见解析（2）30°

【解析】

试题（1）画出线段AB的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求；
（2）由点P到AB、BC的距离相等可得出PC=PD，结合BP=BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），根据全等三角形的性质可得出BC=BD，结合AB=2BD及∠C=90°，即可求出∠A的度数．

试题解析：

（1）依照题意，画出图形，如图所示．

（2）∵点P到AB、BC的距离相等，

∴PC=PD．

在Rt△BCP和Rt△BDP中，

，

∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），

∴BC=BD．

又∵PD垂直平分AB，

∴AD=2BD=2BC．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，

∴∠A=30°．