Question

如图在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系.

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.

（3）当点M、N分别在AB、AC上运动时，四边形AMON的面积是否发生变化？说明理由.

Answer

(1) OA=OB=OC；（2）等腰三角形；（3）不变.

【解析】

（1）由于△ABC是直角三角形，点O是BC的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA=OB=OC=BC；

（2）由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS证得△AON≌△BOM可得：ON=OM  ①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．

（3）由全等三角形的面积相等和图中图形间的面积关系得到.

（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，

∴OA=BC=OB=OC，

即OA=OB=OC；

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：

连接AO

∵AC=AB，OC=OB

∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，

在△AON与△BOM中，

，

∴△AON≌△BOM（SAS）

∴ON=OM，∠NOA=∠MOB

∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM

∴∠NOM=∠AOB=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形；

（3）当点M、N分别在AB、AC上运动时，四边形AMON的面积不发生变化．理由如下：

M、N运动时始终有△AON≌△BOM，

故S四边形AMON=SAMO+SMBO=SABO=SABC．