Question

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_______度；

（2）如图2如果∠BAC=60°，则∠BCE=______度；

（3）设∠BAC=，∠BCE=．

①如图3，当点D在线段BC上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，请直接写出之样的数量关系，不用证明。

 

Answer

（1）90°（2）120° （3） ①α+β=180°②α+β=180°，α=β

【解析】

试题（1）由条件可证得△ABD≌△ACE，可得∠ABD=∠ACE=45°，利用条件可求得∠ACB=45°，可求得∠BCE=90°；

（2）同（1）可证得∠ABD=∠ACE，在△ABC中由等腰三角形的性质可求得∠ACD，从而可求得∠BCE；

（3）①同（1）可证得∠ABD=∠ACE，在△ABC中由等腰三角形的性质可求得∠ACD=∠ABC=，从而可求得∠BCE；②过程同①．

试题解析：（1）∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABD=∠ACB=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，

（2）∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠ABD=∠ACB==60°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°；

（3）①∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，∠BAC=α，

∴∠ABD=∠ACB=，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=2∠ACB=180°-α，

②如图，当点D在射线BC上时，α+β=180°

如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．