Question

如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：△ABC≌△ADE；（图1）

（2）求∠FAE的度数；（图1）

（3）如图2，延长CF到G点，使BF=GF，连接AG．求证：CD=CG；并猜想CD与2BF+DE的关系．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；

（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；

（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．

（1）证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，

∴∠BAC=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

，

∴△BAC≌△DAE（SAS）；

（2）【解析】
∵∠CAE=90°，AC=AE，

∴∠E=45°，

由（1）知△BAC≌△DAE，

∴∠BCA=∠E=45°，

∵AF⊥BC，

∴∠CFA=90°，

∴∠CAF=45°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；

（3）证明：∵AF⊥BG，

∴∠AFG=∠AFB=90°，

在△AFB和△AFG中，

，

∴△AFB≌△AFG（SAS），

∴AB=AG，∠ABF=∠G，

∵△BAC≌△DAE，

∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，

∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，

∴∠G=∠CDA，

在△CGA和△CDA中，

，

∴△CGA≌△CDA，

∴CG=CD，

∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，

∴CD=2BF+DE．