Question

（2017广东省深圳市）如图，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使？若存在请直接给出点D坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

Answer

（1）；（2）D坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）．

【解析】试题（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；

（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．

试题解析：

（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为；

（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S△ABC=AB•OC=×5×2=5，

∵，

∴S△ABD=×5=，

设D（x，y），

∴AB•|y|=×5|y|=，

解得|y|=3，

当y=3时，由=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；

当y=﹣3时，由=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；

综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；

（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴AC= =，BC==，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，

如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，

∴CF=BC=，

∴，即，解得OM=2，

，即，解得FM=6，

∴F（2，6），且B（4，0），

设直线BE解析式为y=kx+m，则可得：，解得：，

∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，

联立直线BE和抛物线解析式可得：，

解得：或，

∴E（5，﹣3），

∴BE= =．