Question

在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，且AD＝AB，若∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．

（1）求证：△ABD是等边三角形；

（2）求证：BE＝AF．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接BD，根据角平分线的性质可得∠BAD＝60°，又因为AD＝AB，即可证△ABD是等边三角形；（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF.

（1）证明：连接BD，

∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，

∵AD＝AB，

∴△ABD是等边三角形；

（2）证明：∵△ABD是等边三角形，

∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD，

∵∠DAC＝∠BAC＝60°，

∴∠DBE＝∠DAF，

∵∠EDF＝60°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE与△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE＝AF．