Question

如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，连接BB₁，设CB₁交AB于D，A₁B₁分别交AB，AC于E，F

（1）求证：△CBD≌△CA₁F；

（2）试用含α的代数式表示∠B₁BD；

（3）当α等于多少度时，△BB₁D是等腰三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠B1BD＝45°﹣；（3）当△BB1D为等腰三角形时，α＝30°．

【解析】

（1）根据已知条件，利用旋转的性质及全等三角形的判定方法，来判定三角形全等；
（2）利用等腰直角三角形的性质得到∠CBA=45°．然后由旋转的性质推知BC=B1C，则∠CB1B=∠CBB1，所以根据三角形内角和定理进行解答即可；
（3）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．

（1）证明：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC．

∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，

∴∠A1＝∠A，A1C＝AC，∠ACA1＝∠BCB1＝α．

∴∠A1＝∠CBD，A1C＝BC．

在△CBD与△CA1F中，

，

∴△CBD≌△CA1F（ASA）．

（2）∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°．

又由旋转的性质得到BC＝B1C，则∠CB1B＝∠CBB1，

∴∠CB1B＝∠CBB1＝＝90°﹣．

∴∠B1BD＝∠CBB1﹣∠CBA＝90°﹣﹣45°＝45°﹣；

（3）在△CBB1中，∵CB＝CB1

∴∠CBB1＝∠CB1B＝（180°﹣α）．

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°．

①若B1B＝B1D，则∠B1DB＝∠B1BD，

∵∠B1DB＝45°+α，∠B1BD＝∠CBB1﹣45°＝（180°﹣α）﹣45°＝45°﹣，

∴45°+α＝45°﹣，

∴α＝0°（舍去）；

②∵∠BB1C＝∠B1BC＞∠B1BD，

∴BD＞B1D，即BD≠B1D；

③若BB1＝BD，则∠BDB1＝∠BB1D，即45°+α＝（180°﹣α），α＝30°

由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α＝30°．