Question

已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

（1）如图1，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形．

（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB=AC．

（3）若点O点在△ABC的外部，△ABC是等腰三角形还成立吗？请画图表示．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）若O点在△ABC的外部，AB=AC不一定成立；图形见解析.

【解析】

（1）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根据等角对等边的性质，即可得证；

（2）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质，AB=AC；

（3）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质，AB=AC．

（1）证明：如图1，

过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

则∠OEB=∠OFC=90°，

∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

则∠OEB=∠OFC=90°，

∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABO=∠ACO，

∵∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）【解析】
若O点在△ABC的外部，AB=AC不一定成立，

理由是：①当∠A的平分线和BC的垂直平分线重合时，如图3，

过O作OE⊥AB交AB的延长线于E，OF⊥AC交AC的延长线于F，

则∠OEB=∠OFC=90°，

∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠EBO=∠FCO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠ABC=180°﹣（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°﹣（∠OCB+∠FCO），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

②当∠A的平分线和BC的垂直平分线不重合时，如图④，

此时∠ABC和∠ACB不相等，

∴AB≠AC，

∴△ABC是等腰三角形不一定成立．