Question

如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与点A、B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与交AB，BC于点G，H，且∠EOF＝90°，连接GH，有下列结论：

①；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为.其中正确的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer

①②④

【解析】

试题①如图1中，连接OB、OA．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EOF＝∠AOB＝90°，

∴∠AOE＋∠BOE＝∠BOF＋∠BOE，

∴∠AOE＝∠BOF，

∴．

所以①正确；

②如图1中，在△AOG和△BOH中，

，

∴△AOG≌△BOH；

∴OG＝OH，

∵∠GOH＝90°，

∴△OGH是等腰直角三角形．

所以②正确；

③如图1中，

∵△AOG≌△BOH，

∴四边形OGBH的面积＝△AOB的面积＝正方形ABCD的面积，

∴四边形OGBH的面积不发生变化．

所以③错误；

④∵△AOG≌△BOH，

∴AG＝BH，

∴BG＋BH＝BG＋AG＝BC＝4，

设BG＝x，则BH＝4－x，

则GH＝＝＝，

∴当x＝2时GH最小，最小值为，

∴△GBH周长的最小值为4＋．

所以④正确．

故答案为：①②④．