Question

如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．

（1）求证：是等边三角形；

（2）当时，试判断的形状，并说明理由；

（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？

Answer

（1）见解析（2）直角三角形；（3）为110°、125°、140°

【解析】

试题（1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；

（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形；

（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°-∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．

试题解析：（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，

∴CO=CD．

∴△COD是等边三角形．

（2）△AOD为直角三角形，

∵△ADC≌△BOC，

∴DA=OB=5，

∵△COD是等边三角形，

∴OD=OC=4，又OA=3，

∴DA2=OA2+OD2，

∴△AOD为直角三角形．

（3）因为△AOD是等腰三角形，

所以分三种情况：①∠AOD=∠ADO②∠ODA=∠OAD③∠AOD=∠DAO

∵∠AOB=110°，∠COD=60°，

∴∠BOC=190°-∠AOD，

而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO

由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，求得α=125°；

由②∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°-∠AOD，求得α=110°；

由③∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°-2∠AOD，求得α=140°；

综上可知α=125°、α=110°或α=140°．