Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．

（1）求证：∠A＝∠ADE；

（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．

Answer

(1)见解析;(2)15.

【解析】

（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，

设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2-202，可得x2+122=（x+16）2-202，解方程即可解决问题．

（1）证明：连接OD，

∵DE是切线，

∴∠ODE＝90°，

∴∠ADE+∠BDO＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵OD＝OB，

∴∠B＝∠BDO，

∴∠ADE＝∠A．

（2）连接CD．

∵∠ADE＝∠A，

∴AE＝DE，

∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，

∴EC是⊙O的切线，

∴ED＝EC，

∴AE＝EC，

∵DE＝10，

∴AC＝2DE＝20，

在Rt△ADC中，DC＝＝12，

设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+122，在Rt△ABC中，BC2＝（x+16）2﹣202，

∴x2+122＝（x+16）2﹣202，

解得x＝9，

∴BC＝＝15．