Question

如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S₁，图2中阴影部分面积为S₂．

（1）请直接用含a，b的代数式表示S₁＝______，S₂＝_____；

（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：_______；

（3）利用这个公式说明2¹⁶﹣1既能被15整除，又能被17整除．

Answer

（1）a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）图1用大正方形的面积去掉小正方形的面积，图2用长方形的面积计算公式；

（2）因为两个图形的阴影部分面积相等，可以根据第（1）问列出等式；

（3）利用所得到的平方差公式分解因式后进行说明．

（1）图1用大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，故阴影部分面积为a2﹣b2，图2用长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），故阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；

（2）观察图1和图2中阴影部分面积是相等的，故a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；

（3）216﹣1=（28﹣1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=15×17×（28+1）

因为28+1是整数，故216﹣1既能被15整除，又能被17整除．