Question

如图，∠ABC＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB的延长线相交于点M，连接MC．

（1）MF与AC的位置关系是：______．

（2）求证：CF＝MF．

（3）猜想：AD与MC的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）MF⊥AC；（2）证明见解析；（3）AD⊥MC．

【解析】

（1）只要证明△ADE是等腰直角三角形，即可解决问题；
（2）根据等腰直角三角形的性质，得出DF⊥AE，DF=AF=EF，再证明△DFC≌△AFM，得出FC=FM；
（3）依据∠DFC=90°，DF=EF，∠FDE=∠FMC=45°，即可得到△DEF、△CFM是等腰直角三角形，进而证明DE∥MC，即可得出结论．

（1）∵AD⊥DE，AD=DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∵AF=EF，
∴DF⊥AE，即MF⊥AC．
故答案为：MF⊥AC．
（2）∵AD⊥DE，且AD=DE，F是AE的中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
∴∠AFM=90°，
∴∠FAM+∠AMF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FAM+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴FC=FM；
（3）AD⊥MC．
理由：由（2）得：∠DFC=90°，DF=EF，FM=FC，
∴△DEF、△CFM是等腰直角三角形，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥MC，
∵AD⊥DE，
∴AD⊥MC．