Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）1＜k＜2．

【解析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式恒成立，因此得证；

（2）利用求根公式求根，根据有一个跟大于0且小于1，列出关于的不等式组，解之即可.

（1）证明：△=b2-4ac=[-（k+1）]2-4×（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2，

∵（k-3）2≥0，即△≥0，

∴此方程总有两个实数根，

解得 x1=k-1，x2=2，

∵此方程有一个根大于0且小于1，

而x2＞1，

∴0＜x1＜1，

即0＜k-1＜1．

∴1＜k＜2，

即k的取值范围为：1＜k＜2．