Question

阅读材料：求1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹⁹的值．

【解析】
设S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹⁸＋2²⁰¹⁹，①将等式两边同时乘2，得

2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵＋…＋2²⁰¹⁹＋2²⁰²⁰，②

将②式减去①式，得2S－S＝2²⁰²⁰－1，

即S＝2²⁰²⁰－1，

则1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹⁹＝2²⁰²⁰－1.

请你仿照此法计算：

(1)1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰；

(2)1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3ⁿ(其中n为正整数)．

Answer

(1) 211－1 ;(2).

【解析】

（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；

（2）同理即可得到所求式子的值．

【解析】
(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210，①

将等式两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，②

将②式减去①式，得2S－S＝211－1，即S＝211－1，

则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211－1.

(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n，①

将等式两边同时乘3，得3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1，②

将②式减去①式，得3S－S＝3n＋1－1，即S＝，

则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝.