Question

图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.

(1) 如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；

(2) 如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论.

      

图1                                  图2

Answer

（1）相等，证明见解析；（2）△CEF的形状是等边三角形.

【解析】

（1）等边三角形的性质可以得出△ACN、△MCB两边及夹角分别对应相等，；两个三角形全等，得出线段AN＝BM；（2）平角的定义得出∠MCN＝60°，通过证明△ACE≌△MCF，得出CE＝CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状.

(1)∵△ACM与△CBN都是等边三角形,

∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°.

∴∠MCN=60°,∠ACN=∠MCB,

在△ACN和△MCB中,

AC=MC, ∠ACN=∠MCB,CN=CB,

∴△ACN≌△MCB(SAS),∴AN=BM.

(2)∵∠ACM=60°,∠MCN=60°,∴∠ACM=∠MCN,

∵△ACN≌△MCB,

∴∠CAE=∠CMB.

在△ACE和△MCF中,

∠CAE=∠CMF，AC=MC, ∠ACE=∠MCF,

∴△ACE≌△MCF(ASA),

∴CE=CF,

∴△CEF的形状是等边三角形.