Question

如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；

（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），对称轴：；

（2）相似，理由见试题解析；

（3）4；

（4）Q1（3，0），Q2（3，）），Q3（3，）．

【解析】

试题（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；

（2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；

（3）设直线BC的解析式为，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；

（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可．

试题解析：（1）∵点B（8，0）在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为，对称轴为直线；

（2）△AOC∽△COB．理由如下：令y=0，则，即，解得，，∴点A的坐标为（﹣2，0），令x=0，则y=4，∴点C的坐标为（0，4），∴OA=2，OB=8，OC=4，∵=2，∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB；

（3）设直线BC的解析式为，则：，解得：，∴直线BC的解析式为，∵MN∥y轴，∴MN===，∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；

（4）由勾股定理得，AC=，过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，①AC=CQ时，DQ===，

点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为，此时点Q1（3，），

点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为，此时点Q2（3，），

②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，CQ==5，∴AQ=CQ，此时，点Q3（3，0），

综上所述，点Q的坐标为（3，）或（3，）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．