Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系？请写出这个关系（不用证明）

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

Answer

（1）DE=CD+CE=BE+AD；见解析；（2）DE=CD﹣CE=BE﹣AD．见解析

【解析】

试题（1）先利用等角的余角证明∠DAC=∠ECB，然后根据“AAS”证明△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，于是可得DE=CD+CE=BE+AD；

（2）与（1）一样根据“AAS”证明△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，于是可得DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

【解析】
（1）DE=AD+BE．理由如下：如图1，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CED=90°，

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD+CE=BE+AD；

（2）DE=BE﹣AD．理由如下：如图2，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CED=90°，

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．