Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y=（x＞0）的图象过点M．

（1）试说明点N也在函数y=（x＞0）的图象上；

（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y═（x＞0）的图象仅有一个交点时，求直线M'N′的解析式．

Answer

（1）说明见解析；（2）直线M'N′的解析式为y=﹣x+2．

【解析】（1）根据矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），可得点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，把x=4代入y=﹣x+，得y=，可求点M的坐标为（4，），把y=2代入y=﹣x+，得x=1，可求点N的坐标为（1，2），由函数y=（x＞0）的图象过点M，根据待定系数法可求出函数y=（x＞0）的解析式，把N（1，2）代入y=，即可作出判断；

（2）设直线M'N′的解析式为y=﹣x+b，由得x2﹣2bx+4=0，再根据判别式即可求解．

（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），

∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，

把x=4代入y=﹣x+，得y=，

∴点M的坐标为（4，），

把y=2代入y=﹣x+，得x=1，

∴点N的坐标为（1，2），

∵函数y=（x＞0）的图象过点M，

∴k=4×=2，

∴y=（x＞0），

把N（1，2）代入y=，得2=2，

∴点N也在函数y=（x＞0）的图象上；

（2）设直线M'N′的解析式为y=﹣x+b，

由 得x2﹣2bx+4=0，

∵直线y=﹣x+b与函数y=（x＞0）的图象仅有一个交点，

∴△=（﹣2b）2﹣4×4=0，

解得b=2，b2=﹣2（舍去），

∴直线M'N′的解析式为y=﹣x+2．