Question

抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点(-3, 0)和(-2 ,0)之间，其部分图象如图，则以下结论:①<0;②<0;③=2;④方程有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为________个.

Answer

3

【解析】

由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0,由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1,则根据拋物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0,由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线x= -1得b=2a,所以c-a=2,根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.

【解析】
∵抛物线与x轴有两个交点,

∴0,所以①错误,

∵顶点为D（-1,2）,

∴抛物线的对称轴为直线x=-1,

∵抛物线与x轴的交点在（-3,0）和（-2,0）之间,

∴抛物线与x轴的另一个交点在（0,0）和（1,0）之间,

∴当x=1时,y0,

∴a+b+c0,所以②正确,

∵顶点为D（-1,2）,

∴a-b+c=2,

∵对称轴为x=-1,

∴b=2a,

∴a-2a+c=2即c-a=2,所以③正确,

∵当x=-1时,二次函数有最大值2,即只有x=-1时,=2,

∴方程有两个相等的实数根,所以④正确.

综上正确的有3个.