Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．

（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；

（2）连接AB，求AB的长；

（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；

【解析】

试题（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；

（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．

试题解析：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．

由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．

将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得，解得．

故抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；

（2）联立抛物线与直线，得

，解得，，即B（2，1），C（5，﹣2）．

由勾股定理，得AB==；

（3）如图：

，

四边形ABCN是平行四边形，∵M是AC的中点，∴AM=CM．

∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM=MN，

∴四边形ABCN是平行四边形．