Question

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．

（1）求证：PC＝PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝　   　度．

Answer

（1）证明见解析；（2）90°；（3）115°

【解析】

试题（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；

（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；

（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．

试题解析：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EPC=90°；

（3）∠EPC=115°，

理由：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°．

∴∠CPE=180°-∠ABC=180°-65°=115°