Question

如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（　　）

A. 6      B. 8    C. 10    D. 12

Answer

B

【解析】

MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．

过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．

又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．

由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．

由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．

∵AE＝2+3+4＝9，AB，∴BE．

∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．

所以AM+NB的最小值为8．

故选B．