Question

（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．

（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．

（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．   

Answer

（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析．

【解析】

（1）由于△PCD的周长＝PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直线l上找一点P，使PC+PD最小．如果设C关于l的对称点为C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小；

（2）作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；

（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短．

（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由如下：

在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．

∵C和C′关于直线l对称，∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′，∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′．即△CDP周长小于△CDP′周长；

（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点，理由如下：

在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′．连接CE′、E′P、PF′、DF′．

∵C和P关于直线OA对称，∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′．

∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；

（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由如下：

在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′．

∵C和M关于直线OA对称，∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．