Question

在 中，，．将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角为，且，连接、．

（1）如图 1，当时，的大小为   　   ；

（2）如图 2，当时，的大小为   　  ；

（提示：可以作点D关于直线BC的对称点）

（3）当为   　   ° 时，可使得的大小与（1）中的结果相等．

Answer

（1） ；（2） ；（3），，或，．

【解析】

(1)由∠BAC=100º，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40º，旋转角为α，α=60°时△ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度数，进而求得∠CBD的大小；

(2) 作点D关于直线BC的对称点D/，连接A D/、B D/、C D/，根据旋转和对称的性质即可得；

(3)结合(1)(2)的解题过程可以发现规律，△ACD是等边三角形时，CD在△ABC内部时，CD在△ABC外部时，求得答案.

【解析】
(1)∵∠BAC=100º，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=40º，当α=60º时，

由旋转的性质得AC=CD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60º，

∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=100º−60º=40º，

∵AB=AC，AD=AC，

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=(180º−∠BAD)=70º，

∴∠CBD=∠ABD−∠ABC=70º−40º=30º；

(2)如图，作点D关于直线BC的对称点D/，连接A D/、B D/、C D/，

∵∠BAC=100º，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=40º，当α=20º时，

∴∠BCD=20º，

由旋转和对称的性质可知，∠BCD/=∠BCD=20º，AC=CD=CD/，

∴△ACD/是等边三角形，

由(1)可知∠CBD/=30º，

∴∠CBD=∠CBD/=30º；

(3)①由(1)可知，∠α=60º时可得∠CBD=30º；

②由(2)可知，∠α=20º时可得∠CBD=30º；

③在图1中以C为圆心CD为半径画圆弧交BD的延长线于点D1，连接CD1，

∵∠CDD1=∠CBD+∠BCD=30º+º=50º，

∴∠DCD1=180º−2∠CDD1=180º−100º=80º，

∴∠α=60º+∠DCD1=140º；

④在图2中以C为圆心CD为半径画圆弧交BD的延长线于点D2，连接CD2，

∵∠CDD2=∠CBD+∠BCD=30º+º=50º，

∴∠DCD2=180º−2∠CDD2=180º−100º=80º，

∴∠ACD2=∠DCD2-∠ACD=80º-20º=60º，

∴∠α=360º-60º=300º.

综上所述,α为20º、60º、140º、300º时，∠CBD=30º.

故答案为：（1） ；（2） ；（3），，或，．