Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c经过A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，6）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为点E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果点P的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）过点P（﹣3，m）作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点Pʹ，求出Pʹ的坐标．（直接写出结果）

Answer

（1）抛物线解析式为：y＝-x2﹣2x+6，抛物线的顶点D（﹣2，8）；（2）9；（3）P′（，）．

【解析】

1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．
（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=•PE•yP，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．

(3)求出点P，过点P′作P′M⊥y轴于点M，再根据相关条件解答即可.

【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，6）三点，

∴，解得：，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x+6，

∵，，

∴抛物线的顶点D（﹣2，8）；

（2）∵A（﹣6，0），D（﹣2，8），

∴设AD的解析式y＝2x+12，

∵点P在AD上，

∴P（x，2x+12），

∴S△APE＝PE•yP＝×（﹣x）•（2x+12）＝﹣x2﹣6x，

当x＝-3时，S最大=9；

（3）P′（，）．

点P在AD上，

∴当﹣3时，y＝2×（﹣3）+12＝6，

∴点P（﹣3，6），

∴PF＝6，PE＝3，

过点P′作P′M⊥y轴于点M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，

∴∠PFE＝∠P′FE，PF＝P′F＝6，PE＝P′E＝3，

∵PF∥y轴，

∴∠PFE＝∠FEN，

∵∠PFE＝∠P′FE，

∴∠FEN＝∠P′FE，

∴EN＝FN，

设EN＝a，则FN＝a，P′N＝6﹣a，

在Rt△P′EN中，P′N2+P′E2＝EN2，即（6﹣a）2+32＝a2，解得：a＝，

∵S△P′EN＝P′N•P′E＝EN•P′M，

∴P′M＝，

在Rt△EMP′中，EM＝，

∴OM＝EO﹣EM＝6﹣＝，

∴P′（，）．