Question

定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC²=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．

如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；

（2）求出线段AD的长．

Answer

（1）详见解析

（2） AD=

【解析】

（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案。

（2）根据（1）列出方程即可求出AD的长度。

【解析】
（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°。

∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°。∴AD=BD，BC=BD。

∴△ABC∽△BDC。∴，即。∴AD2=AC•CD。

∴点D是线段AC的黄金分割点。

（2）由（1）AD2=AC•CD，即AD2=AC•（AC﹣AD），AD2=1﹣AD，AD2+AD﹣1=。

解得AD=（舍去负值）。

∴AD=。