Question

已知关于x的一元二次方程x²-（3k+1）x+2k²+2k=0.

（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.

Answer

（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为16或22.

【解析】

（1）计算方程的判别式大于等于0即可；
（2）由等腰三角形的性质有a=b=6、a=c=6或b=c三种情况，当b=6或c=6时，可知x=2为方程的一个根，代入可求得k的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当b=c时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于0可求得k，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长和周长．

（1）∵=b2-4ac=［-（3k+1）］2-4（2k2+2k）=9k2+6k+1-8k2-8k=k2-2k+1=（k-1）2≥0，

∴无论k取何值，方程总有实数根．

（2）①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．

∴（k-1）2=0，解得k=1．

此时原方程化为x2-4x+4=0.

∴x1=x2=2，即b=c=2．

此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形.

②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，

代入方程：62-6（3k+1）+2k2+2k=0，

解得k=3或5.

则原方程化为x2-10x+24=0，或x2-16x+60=0.

解得x1=4，x2=6；或x1=6，x2=10.

所以b=6，c=4；或b=6，c=10.

此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，

所以△ABC的周长为6+6+4=16，或6+6+10=22.