Question

在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）计算.

Answer

（1）证明见解析；（2）＝3．

【解析】试题（1）连接OD，根据等边三角形性质得出∠B=∠A=60°，求出等边三角形BDO，求出∠BDO，∠A，推出OD∥AC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；

（2）求出AD=AC，求出AE=AC，CE=AC，即可求出答案．

（1）连接OD，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

又∵OD＝OB，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠BOD＝60°＝∠ACB，

∴OD∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴∠ODE＝∠AED＝90°，

∴DE为⊙O的切线；

（2）连接CD，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

又∵△ABC为等边三角形，

∴AD＝BD＝AB，

在Rt△AED中，∠A＝60°，

∴∠ADE＝30°，

∴AE＝AD＝AC，CE＝AC－AE＝AC，

∴＝3．